X人LW猫生存の時に猫又COをした方がいいの？

(シンプル確率論からの結論)
「3人なら、猫又COをしてもよい。4人・5人なら、朝に猫又COをしない方が良い」
「5人1猫1W、猫又潜伏なら村勝率70%にできる」(恐らく、70%以上にできる。)

[詳細]

最近、参加/観戦させていただいた村からのトピックです。
3人最終日で、「村狼猫」の3人村になった時に
「猫がCOしたほうがいいのか？」 という話になり、
自分は「シンプルに考えると、どちらでも同じ」だと思いました。
それを少しだけ一般化すると、どうなるかを考えたのが今回の話題です。
その中でダイスで「吊り先を決める」という戦略を絡めることによって、
村の勝率がどの程度高まるかということも考えました。

[状況]
* Xの候補のうちYなら、候補が選ばれる確率はX/Y
* 村人の結果騙りは考慮しない
* 狼はシンプルな確率論に基づいて、村勝率を小さくする戦略をとる
* 村はシンプルな確率論に基づいて、村勝率を大きくする行動をとる

(1)3人最終日(猫/狼/村)の場合
A. 朝に猫COした場合: 村勝率1/2 (狼も猫COすると村勝率3/4)
B. 朝に猫COしない場合:
猫が吊れる場合: 猫が吊れる確率1/3 * 狼道連れ確率 1/2 = 1/6
狼が吊れる場合: 1/3
で結局1/3 + 1/6 = 1/2

したがって、 猫COしても、しなくても村勝率は変わらず1/2

(2)4人最終日の場合(猫/狼/村/村)
A. 朝に猫COした場合: (狼は猫COせず)村勝率1/3
B. 朝に猫COをしない場合:
狼が吊れる場合 1/4
猫が吊れる場合 1/4 * 1/3
村が吊れる場合 1/2 * 1/2(夜の狼噛みの2択)
従って、猫COをしない方がよく、村勝率7/12

(3)最終日手前5人の時 
A. 朝に猫COをした場合:4グレー1Wの村勝率になる
1/4 + 3/4 * 1/2 = 5/8
B. 朝に猫COをしない場合: 以下の手順をとることによって村は勝率を70%にできる

[1] ダイスを振って、5人のうちから1人を選ぶ

[2] 猫COがなければ、その人を吊る -> 夜時間 -> 最終日へ
[3] 猫COがあった場合、
[3-1]『対抗猫がいれば』非猫候補から1人を吊り、最終日にいき、元々指定された猫を吊る
[3-2]『対抗猫がいない場合』猫を指定役として、4グレー1Wの戦いとする

この戦略の勝率を計算すると

5人の時
狼が選ばれる場合: 1/5 * 1
猫が選ばれる場合: 1/5 * 1/2 <狼は対抗猫COをした方が有利になる。最終日猫が連れる 1/2 or 4グレー1W 5/8なら、1/2を選ぶ>
村人が選ばれる場合: 3/5 * (1/3 + 2/3 * 1/2)
<注: 4人の夜で3人のうち1人を狼は噛む。猫なら村勝ち。猫でなければ3人最終日村勝率1/2>
したがって、村勝率7/10

以上より、シンプルな確率論に基づいた時の議論から
朝に猫はCOしない方がいいと言える。

[おまけ1]
* 今回無視した要素として、5人の時、
『猫2COの時、最初に指定された猫を最終日に吊る確率』
と『真猫に対して、狼が対抗猫CCOする確率』に確率的な読みあいが存在して、本当はそれを考慮した『均衡解』を考えた方が、村勝率の値の議論として適切。
その均衡解を考慮したときも村の勝率は7/10以上になるということは言えるので、今回はその議論を省略した。

[おまけ2]
* 6人以上の時にどうなるかの議論は必要だが、恐らく「潜伏しておいたほうが良い」
という結論がでるでしょう。帰納的に証明できると感じています(未検証)。

[実際の村では...]
実際の村では、5人の時の、<ダイスを使う(=完全乱択の戦略)>に、抵抗を感じる人が多いと思いますし、 今回の結果は、数学的な仮定が成り立たない現実の村に、そのまま適用するのは厳しいことも多いでしょう。
しかし、 『5人1Wの時に、昼時間に1回「仮の投票を行って」吊り先の候補を選択し、その吊り先の候補から猫COがあるかどうかを聞く』 という戦略を村側が実行することは可能です。(時間的制約が厳しいですけどね。)
ダイスの代わりに上記のことをすれば、 シンプル仮定に基づいた時、村勝率70%は確保できます。 この仮投票のフェーズを入れないと、ちょっと村勝率は下がってしまいますね。
(自分は実際の村でここまでやりたいとは思いませんが、『勝ちにこだわる』という姿勢からは、こんな戦略もありなんですねー)

[<ダイスを使った>乱択進行について]
最終的な結果が村有利の場合の選択は、「ゲームの勝負をすることが最善です」
という前提で議論ができるけれど、 村が不利な場合は、引き分け進行も考慮にいれて、「ダイスでランダムに吊り対象を選択する」ことの議論をしなくてはいけないんだろうなと最近、ぼんやりと思っています。結構、これを真面目に考えるのは煩雑かも...という印象です。 簡単な例で試してみたいなー

[雑記]
* 最近ちょっと人狼に関わりすぎたような気がするから、少し離れたほうがいいんだろうなー
* 人狼から元気をもらったから、これから少しの期間は人狼から離れて他のことを頑張るときだなー
* 人狼の先生に見せてもらった、詰め将棋の問題が全然分からなかったなー
初めの数手の方針すら分からなかったなー
* ちょっとだけ将棋をやってみたけど、自分悲しいくらい弱いなーと。矢倉と棒銀ぐらいしかしらないけれど...定石うんぬんの前に、もう少し先が読めるようになりたいなー
* 計算ミスないといいなー
* 早く寝ようー