猫吊りのタイミング-シンプル確率論-
この村からのお題はこちら。
<問題>
8人狩霊 猫CO2(猫狼) 村人3 狼1の昼. どういった吊り順が良い？
<シンプルな仮定>
* X候補の中に狼1の場合, 狼が釣れる確率は1/X
<結論>
シンプルな仮定の下で、8人の時に猫CO者を吊るのが最も村勝率が高くなる.
以下詳細.
<補題> 6人 2W狂人非生存. 猫CO2(猫狼) 確定村1. グレー3(狼1, 村人2) の時の最適な吊り方とその勝率は？
4人の時に猫を吊る場合の村勝率: 1/3 * (1/2 + 1/2 * 1/3) = 1/3 * 2/3 = 2/9
6人の時に猫を吊る場合の村勝率:
1/2 * 1/3 + 1/2 * ([猫CO狼道連れ確率] * 1/3 + [グレー狼道連れ確率])
= 1/6 + 1/2 * (1/5 * 1/3 + 1/5)
= 1/6 + 1/2 * (4/15) = 1/6 + 2/15
= 9/30 = 3/10 より, 6人の時に猫を吊った方が良く, その勝率は30%.
4人の時に猫CO者吊りを行う進行:
4グレー2吊りでグレーの狼を吊る必要があるので村勝率 1/2 * (1/2 + 1/2 * 1/3) = 1/3
6人の時に猫CO者吊りを行う進行:
8人の時, 4グレー1W吊りで狼が釣れたら村勝ち.
<補題>より, 狼が釣れなかった場合は6人の時に猫吊りをした方が良く,
その勝率は3/10なので 1/4 + 3/4 * (3/10) = 19/40
8人の時に猫CO者吊りを行う進行: (これが一番ややこしい)
[猫吊り成功の確率] * 1/2
+ [猫吊り失敗の確率]
* ([猫CO者の狼道連れ] * 1/2 + [霊能 or 狩人道連れ] * 1/3 + [潜伏狼道連れ] * 1 + [グレーの村人道連れ] * 1/3)
= 1/4 + 1/2 * (1/7 * 1/2 + 2/7 * 1/3 + 1/7 + 3/7 * 1/3)
= 1/4 + 1/2 * (1/14 + 2/21 + 1/7 + 1/7)
= 1/4 + (1/2) * ( (3 + 4 + 6 +6 ) / 42)
= 1/4 + 1/2 * (19/42) = 1/4 + 19/84 = 40/84 = 10/21
より, 1/3 < 19/40 < 10/21なので,
８人の時に猫吊りをした方が良いと言える.
以上.
