September, 2022
4人昼、確定〇1猫又潜伏ゲームの村勝率解析
次のようなゲームを考えます。
- 昼時間からのスタート、4人
- 猫狼村村
- 確定〇が1人。 (猫の確率 1/3, 村の確率 2/3。猫又以外の参加者には誰が猫又かが不明。)
さて、この時の村勝率はいくつになるか？
この問題設定の着想は下記の村からです。
本譜では、霊能残りの騙りを狂人と決め打って、猫を出してのグレロラを行っています。 (負けました...)
逆に、狂人を吊った場合の勝率について考えようというのが、この投稿の趣旨です。
簡単に仮定をおいて、ゲームの勝率を計算で求められるようにします。
狼陣営の戦略
- 指定されたら猫又CO
- (猫露出がない場合)夜時間、確定〇を確率$\alpha$で、グレーを$1 - \alpha$ で噛む
- グレーから猫又COがあった場合、対抗猫又COを確率$\gamma$で行う
村陣営の戦略
- グレー3拓をランダムで指定。 猫又COがなければ、そのまま吊り
- 猫又は指定されたらCOする
- 猫又COがグレーから2になった場合、確率$\beta$で最初の指定猫を吊る
猫又が〇にいる場合の村勝率 (1/3)
狼指定か、猫又噛みが勝利条件
$$ \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \times \alpha $$
猫又がグレーにいる場合の村勝率 (2/3)
村指定の場合、狼指定の場合、猫又指定の場合がある
$$ \frac{1}{3} \times ( (1 - \alpha)) + \frac{1}{3} \times (\beta + (1 - \beta) 1 / 3) + \frac{1}{3}\left( \gamma (1/3 \beta + (1 - \beta)) + (1 - \gamma) \times 1/2 \right) $$
以上より、計算を行うと
$$ \frac{14}{27} + \frac{4\beta + 3\gamma - 4\gamma \beta}{27}. $$
両陣営のパラメータ設定を最適化すると、狼陣営は$\gamma=1$, 村陣営は$\beta=1$を設定することがゲームの結果となって、 村勝率 $\frac{17}{27}$。
(間違えていたらごめんなさいー)
