人外2残り、5人昼、猫又潜伏の状況について、考察してみた話
こんにちは。StudentSです。年末は久しぶりにるる鯖に長く滞在させていただきました。
そして、他のサーバーの村のログを読んだり観戦させていただいたりしました。
感想戦で穏やかな方が多い大人数村は面白いですね！
ゲーム特有の状況や個人の趣味趣向と、客観的な事実とを区別して指南してくださるPLさんやGMさんが、私は好きです。
さて、2019年も2020年も1つは人狼関連のエントリを入れることに成功しました。
今回のエントリの結論は、猫又村に慣れている人であれば、採用する戦略としてはほぼ自明な類のものかな、と思います。
ただ、本当に成立するかどうかは少し不確かなところがある、というのが感触でした。
そのもやもやを確かめた、というのが今月の内容です。
導入と結論
このエントリでは、下記のことを主張します。
人外2残り、5人昼、内訳は(露呈してる狂狼)狼猫村村。 猫又潜伏。
この時の村の最善戦略は、黙って、露呈している人外投票することになりそう。
シンプルな仮定に基づく解析の結果、本戦略によって村勝率66%を確保できる。
議論の大筋としては、露呈している人外が、確定狂人であったとしても、
(グレー吊りではなく) 猫又潜伏の方が よさそう ということを示すことで、
上記主張を作っています。
よさそう というのが、曖昧な表現となってしまい悲しいのですが、
真面目に考えると本問題はかなり難しくなることを感じました。
その難しさを「COなしはそのまま吊る」というルールを仮定として導入することで、簡略化しています。
この点が、今回のエントリの議論の弱点です。
詳細
状況
- 5人昼、(露呈している狂)狼猫村村の5生存、猫又潜伏
仮定
- 吊り先を決めたとき、決定先がCO無しであれば、吊り先を変更することはできない
- 発言等を考慮せず、CO状況が同じPLから、等しい確率で吊り先を選択する
[戦略A] 猫又潜伏のまま、狂人を吊る
村勝率は下記となる。
\begin{align}
\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{3}
\end{align}
[戦略B] グレーからの乱拓戦略を使った戦略
次の戦略を採用するものとする。
グレーから乱拓戦術で、吊り先を決める。乱拓で選んだ吊り先からCOがなかった場合、対象者を吊る。猫又COがあった場合、
- 1. 対抗猫のCOがあった場合、狂人を吊って最終日とする
- 2. 対抗猫のCOがない場合、グレー3拓を行って、続けば最終日とする
村陣営の勝率
[戦略B] において、村勝率$W$ は次のパラメータ$\alpha, \beta$ で決定される
- [村陣営] 2猫又COがあった時に、最初に指定された猫又を吊る確率$\alpha$ (1-$\alpha$ で後からの猫又COを吊る)
- [狼陣営] 真猫の猫又COがあった時に、対抗猫又COをする確率 $\beta$
この時、$W(\alpha, \beta)$ は下記となる。
\begin{align}
W(\alpha, \beta) = \frac{2}{4} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\left( \beta\left((1-\alpha) + \frac{1}{2} \alpha \right) + \left(1 - \beta\right) \frac{2}{3} \right) + \frac{1}{4}\left( \alpha + \frac{1}{2}\left( 1 - \alpha \right)\right) \
= \frac{13}{24} + \frac{1}{8}\alpha + \frac{1}{12} \beta - \frac{1}{8}\alpha \beta
\end{align}
$\alpha, \beta$ について最大値、最小値を考えると、
$(\alpha, \beta) = (1, 1)$ の時、$\frac{15}{24}$となる。
この値は $\frac{2}{3}$ より小さいため、
上記設定においては、 [戦略A]の方が[戦略B] よりも優れているといえる。
あとがき
今回の議論のポイントは、
- 「COなし」は村認定できるか？
という点です。
詳細の解析において、「COなし」を行うのは村陣営しかしないことになっています。
したがって、
(決定先がCO無しであった時に、吊り先を変えることができるという前提下であれば、)
「COなし」を言っているPLを村認定する、という戦略を村側が取ることで
(狼が確実に猫又COをするという前提下であれば、)
村勝率を $\frac{2}{3}$ より高められます。
しかし、当然「COなし」を100%村認定するという戦略を村側が採択すれば、
狼側も「COなし」という選択を取ることで、村勝率を下げられます。
より厳密な解析においては、この部分について、均衡解かどうかを調べていく必要があります。
これが、辛い。 原理的にはできると信じておりますが、
考えなければならないパラメータ数が増加してしまいました。
