3-1進行をモチーフにした、確率計算の練習問題

どーてもいい話

こんにちは。StudentSです。
最近、書店に行き本を購入しました。
すると、おまけで自由研究ノートというものを頂きました。
(タイトルが「せいしゅんのきろく」うーん、どう使えばいいのだろうなぁ？と思いながら。)
何かやらねばならんなーという感じがしたので、
そのノートを使って、ちょっとした頭の体操をしてみました。

導入

るる鯖12A猫、3-1展開はよく見られますね。
占い師吊りになる場合、初日の吊り先の決定要素として、確率論を使うことは多いみたいです。
問題を単純化した場合、議論で大切なのは「狼が初手囲いを採用する確率」です。

読みにくい文章ですが…

3-1○展開のグレーランダムと占い師吊りの均衡点について - 12A猫で学んだこと-Memoir-

でも考えたりしてみました。

霊能者狼だったり、占い真狼狼の確率を導入するともう少し複雑な問題になりますが、その可能性を0として見なすのであれば、1パラメータで議論ができるでしょう。

今回は、「3人の占い師候補の内、2人が相互○を出していて、1人がグレーに○を出している」
という条件下で

相互○が(真, 狂)
相互○が(狂, 狼)

である事後条件確率を求めたいと思います。

問題設定・全視点で成立する前提と全てのPLで共通して持つ仮定

ルールは12A猫 (るる鯖準拠)
3-1 真狂狼 - 真
狼が初手囲いをする確率をmとする。
占い/占い騙りのPLはABC, AとBは相互に○出し、Cは霊能者以外に○を出す…[ア]
(例)
- A: B○
- B: A○
- C: (霊能者以外のグレー)○
[ア]の状況が観測された条件下で、
- Case1. Cが狼である事後条件確率
- Case2. Cが真である事後条件確率

を求める。

結果

Case1の事後条件確率: (3m+5) / (10-2m)
Case2の事後条件確率: (5-5m) / (10-2m)

従って、Cが真である確率が1/3以上になる条件は、
mが 5/13 よりも小さいことであると言える。

導出の詳細

狂人は○打ちの戦略を選択したとして良い。

Case1. の条件下で[ア]が観測されるケース

1/10 * 1/10 * (m * 1 + (1-m) * 5/8)
- 狂人・占いが相互に○打ちをする。
- 狼が初手囲いするとしたか、初手囲いをしない戦略を採用し、(11 - 3 - 2 - 1 = 5)人のなかの誰かに○を出す。

Case2. の条件下で[ア]が観測されるケース

1/10 * ((1-m) * 1/8) * 5/10
- 狂は占い騙りの狼に○を出す。
- 狼は、初手囲いをしない戦略を採用し、狂人に○を出す。
- 真は10人の中から、グレーの中の5人の誰かに○を出す。

この2つの確率より、結果を導出できる。