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12A猫で学んだこと-Memoir-

...What are you learning now?

狼にとって、組織票は'常に'最善進行ではなかった。

『狼なら組織票をする』この前提は正当化できない。

『選択の主体を乱数に委ね、常にそこを吊る。その選択に従わない者は狼とみなす』 このように、狼陣営の組織票を確実に潰す為の戦略...があります。
乱択進行。(ダイスの女神様進行)
村側の戦略として'悪い戦略'でないことなのは自明なのですが、
狼側の戦略として、組織票をしないでこの戦略を採用することが'悪い戦略なのか'
それとも、均衡解として成立するのか? ということが気になっていました。

つまり、

  • 『常に特定の村人に2Wで組織票を入れる』戦略が狼側の最善戦略で、そ略上で村側の戦略として村勝率を一番高めるのが乱択進行なのか?
  • 狼陣営にとっても、ダイスの女神様進行が均衡解なのか?

上記のどちらなのかを明らかにしたいと考えていました。

昼5人2W生存から始まるゲームにおいて、解析を行うことにより、
『特定の村人に2Wで組織票を入れる』戦略は、
狼側にとって、ダイスの女神様進行と比べて『絶対的に有利な作戦』ではない。ということが明らかになりました。
狼が、『特定の村人に2Wで組織票を入れる』ということを村陣営が知っている場合、
ダイスの女神様進行よりも狼の勝率は低下します。細かい計算は下を参照してください。

実際の村で「身内票を入れた俺は狼ではない」という主張は
正当化できないことがこの結果から示唆されます。「村側が身内票をするのは狼ではないと見なして進行する」
戦略をとる前提では、狼側にとって身内票を入れるのが最善進行になる可能性があるからです。

計算を行う前は、「狼の最善戦略は『特定の村人に2Wで組織票を入れる』」だと思っていたのですが、
その結果が違っていたことにちょっと驚きました。

解析の詳細

解析の前提となる仮定

  • 5人2W(村人3/狼2)の昼から始まるゲーム
  • (いつものように)発言等の要素は無視。
  • 引き分け再投票は存在せず、票が同数の場合、ランダムに1人が吊られる
  • 『狼は特定の村人に2Wで組織票を入れる戦略をとる』
  • 村人は『狼が特定の村人に2Wで組織票を入れる戦略をとる』ことを知っている。

確率計算による勝率の比較

ダイスの女神様進行の場合

  • 村勝率 2/5 * 1/3 = 2/15

『狼は特定の村人に2Wで組織票を入れる戦略をとる』/村人がそのことを知っている場合。

  • 初日に狼が吊れた地点で、残りの狼が透ける。従って初日に狼が吊れる確率が村の勝率となる。

それぞれの票数となるケースの確率

  1. 狼3票 - 村2票になる確率 2 / 64
  2. 狼2票 - 狼1票- 村2票 6 / 64
  3. 1人の狼2票 - 村3票 になる確率 4 / 64
  4. 1人の狼2票 - 村2票 - 村1票になる確率 8 / 64
  5. 1人の狼1票 - 狼1票 - 村2票 - 村1票になる確率 8 / 64
  6. 1人の狼1票 - 狼1票 - 村3票になる確率 4 / 64
  7. 1人の狼1票 - 村4票 - になる確率 2 / 64
  8. 1人の狼1票 - 村3票 - 村1票になる確率 12 / 64
  9. 1人の狼1票 - 村2票 - 村2票になる確率 4 / 64
  10. 1人の狼1票 - 村2票 - 村1票 - 村1票になる確率 6 / 64
  11. 狼0票 - 村4票 - 村1票になる確率 2 / 64
  12. 狼0票 - 村3票 - 2票になる確率 2 / 64
  13. 狼0票 - 村3票 - 1票 - 1票になる確率 2 / 64
  14. 狼0票 - 村2票 - 村2票 - 村1票になる確率 2 / 64

以上より、

  • 村勝率 2/64 + (6 + 8) / 64 * 1/2 = 9 / 64

結論

2/15 < 9/64 より、ダイスの女神様進行を採用した方が村の勝率は低くなる。 (狼陣営にとって、ダイスの女神様進行をした方が良い) と証明できる。 (終)

補足

何も知らない僕の, たったひとつの冴えたやりかた-全てはダイスの女神様のお気に召すまま- - 12A猫で学んだこと-Memoir-

で、ダイスの女神様進行は村視点の「最善進行」といっていたけど 、これは誤りですね。「勝率について均衡解になっている」というのが正しいですね。 いつか、整理した方が良いんだろうなぁ...

雑多な話とゲームの均衡解の例 - 12A猫で学んだこと-Memoir-

この話との関連性について述べれば、ダイスの女神様進行をしない前提での 村の均衡解勝率は、 2/15よりも低くできるかもしれませんね。 原理的には、全ての行動パターンを採用する確率分布を導入して均衡解を求めればいいのだけれど、 それは結構大変ですね。 5人2W猫2CO村人2の場合であれば、狼側にとって「ダイスの女神様進行は悪手である」 ということを主張しているのが上記のエントリです。今回のケースでどうなのかは、何も言及できていないですね。 この解析結果からね。