情報釣りは確率論の観点から最善なのか？ -> 「常に唯一の最適進行」という主張は誤り

「情報釣り」に関して純粋な確率論的発想で、
「情報釣りは良いのか？」みたいなことを考えたんですが、
かなり恣意的な状況を仮定しないと明確な主張はでませんでした。

ただ, 主張できるのは, 「情報釣りが常に最善の進行だ」という主張は

(その「良さ」に関して, 「狼目の占いを釣る」という評価指標を入れた時)
誤りである. ということかなーという感じです.

 結局、２日目に狼と狂人の占い騙りがどのような戦略を取るか,

つまり、●/○を出す確率によって, 情報釣りの状況の際, 最適な釣りは変わる.
という感触でした...一応, 前に書いた文章を日記代わりに貼り付けておこうと思います.  (計算が間違っていたら、ごめんね)　恣意的な仮定をおいて, 情報釣りが「唯一」の最善な進行にならないケースを提示していることになっています.

12A猫に限れば, 3-1になって占いローラーで半分の人外を道連れにできている地点で真占いは十分仕事していると思うんだけどなー

内容も薄いし, 推敲が足りないなーと思いながら.....

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○事後条件確率から、情報釣りを考える.

どうやら, るる鯖11Aや12猫で【情報釣り】と言われる戦術があるみたいですね.
3人の占い候補者がいた時,
占い師候補A:B ○
占い師候補B:D ○
占い師候補C:E ○
だった場合, 占い師候補Cを釣ろうという戦術です.

本戦術の戦術のメリットととして, よく聞いたのは,
* 霊能結果で占い師候補者Cから○が出た場合, Aの破綻をみることが出来る.
というものでした.

また, 他の占い師候補から○が出ているのは, 真狂の可能性が高いというのも
メリットでしょう.

このエントリの目的は, 数学的にシンプルな過程に従って,
上記のような状況の時に, 占い師候補Cが実際に狼である確率を導出することです.

数学的に仮定をおいて議論をするためには, 「偽の占い師が○/●を出す確率」の仮定が必要です.
偽の占い師が○／●を打つ確率は, 真占い師が○/●を引く確率と同じであるという恣意的な仮定をすることによって, 議論を単純化することができ, 以下の結果を得ることができます.

[結果]
A:真, B:狂, C:狼の確率: 1/5
A:狂, B:狼, C:真の確率: 1/5
A:狂, B:真, C:狼の確率: 1/5
A:狼, B:真, C:狂の確率: 1/5
A:狼, B:狂, C:真の確率: 1/5

これが, 占い結果を見た時だけの事後条件確率です.

さて...この結果を見ると, 確率論からC釣りというのは非合理的な側面があります.
A, B, Cが狼である確率は, それぞれ0.4, 0.2, 0.4
A, B, Cが真である確率は, それぞれ0.2, 0.4, 0.4

なので

「真の可能性が高い所を残す」という趣旨に従えば, 釣るのはA一択になりますし,
「狼の可能性が高い所を釣る」という趣旨に従えば, 釣るのはA or Cが良いということになります.
とみると, 「確率論から釣り先を選ぶ」という趣旨に従えば, 釣るべきはCではなくAということになります.

C -> (Cが白の場合A釣り)で, 2釣りで狼を釣れる確率は0.8
A -> (Aが白の場合C釣り)で, 2釣りで狼を釣れる確率は0.8なので,
(12A猫で重要な)狼の先釣りという観点からは, C, A, どちらを釣るかの優劣は無いですね.

面白いのは, Aを釣って○が出た場合, Aが真の確率は1/3だけれど,
Cを釣って○が出た場合, Cが真の確率は2/3ということですね.

もちろん, A釣りにもデメリットはあります.
占いローラーを完遂することを考えるのであれば, Aはもっとも情報が出ていない占い師です.
だからAを残すという理屈もあると思いますね.

自分としては, 今回のような状況の場合, 初日, A V.S Cをさせるのも面白そうだと思いますね.
「初日の位置だけで釣られるのは嫌だ」ということを言っている方がいました.
そういう方に, 初日抗う権利を与えるというのもいいのではないでしょうか？

<詳細>

[状況]のように○進行になった時の事後条件確率を求めるという例で数学的な仮定と, 仮定に基づく計算を示す.
(1人が●を出しているなど, )類似の状況でも同様の議論が可能.


[数学的な仮定]
* 占い候補が真狂狼のみを考える. AがBに○結果を出し, BとCはグレーに○を出しているとする.
*　狼狂占がA,B,Cにそれぞれ当てはまる確率は全て等しい. (結果を出す前の確率(事前確率)は, 全て等しい.(A,B,C)がそれぞれ真狼狂になる確率は1/6ずつ).
* 真占い師が狂人に○を出す確率をaとする.
* 狂人が真占い師に○を出す確率をb, 狼の占い師候補に○を出す確率をcとする.
* 狼が真占い師に○を出す確率をd, 狂の占い師候補に○を出す確率をeとする.
* 真占い師が, 占い騙り以外に○を出す確率をXとする.
* 狂人の占い騙りが, 占い騙り以外に○を出す確率をYとする. 狼の占い騙りが占い騙り以外に○を出す確率をZとする.

[恣意的な数学的仮定]
* a = b = c = d = eとする.
* X = Y = Zとする.  
(この議論では狼/狂の戦略を恣意的に固定してしまっている. 例えば, 極端な例を言えば,
『狂人は●うちを絶対にする』という状況設定では, これら仮定が成り立たないことは明白です.)『実際の村では,
aとXは配役が決まれば自動的に値が決まりるが, それ以外の変数は狼や狂人の戦略によって変数の値が変わる.

[結論]
○進行で, [状況]のようになった時, それぞれの占い候補の内訳の事後確率は[結果]のようになる.

[数学の議論]

「ベイズ的に, 事後条件確率を求めれば良い. 」これで説明は完了です.
以下詳細.

上記の状況となるケースを占い候補の内訳に従って場合分けして求める.

* Case1: A:真, B:狂, C:狼の場合.
この場合の事前確率は1/6. そして, [状況]のようなことが起こる可能性は 1/6 * a * Y * Z

 
* Case2: A:真, B: 狼, C:狂の場合.
該当状況に当てはまらない. =>確率 0.

* Case3: A:狂, B:真, C:狼の場合.
この場合の事前確率は1/6. そして, [状況]のようなことが起こる可能性は 1/6 * b * X * Z

* Case4: A:狂, B:狼, C:真の場合: => 1/6 * c * X * Z
* Case5: A:狼, B:真, C:狂の場合. => 1/6 * d * X * Y
* Case6: A:狼, B:狂, C:真の場合. => 1/6 * e * X* Y
の場合も, [状況]の状況が発生する確率は, それぞれCase1, Case3と同じように計算できる.
Case1 ～ Case6に該当する確率が全て等しいから, [結果]を得られる.


この結果が示唆しているのは,
実際の村では, 「情報釣り」というのは, 騙りが初日●打ち/○打ちをする確率と関わっているということです.
変数の値に応じた議論も可能ですが...そこまでやると議論が複雑になるし, 主張が不明瞭になってしまいます...
・・・ただ, 実際の村で A V.S.Cを初日にするという進行も情報釣りの代替案としてありかなーという感じです。

[2016/3/27追記 ~Twitterでのご意見を受けて~] 

『a=b=c=d=eは成り立たないでしょう』というご意見を拝読させていただきました.  
これが成り立つときというのは,

「狂人と狼の占い騙りが共に,　ランダムに１人を選び○出しをする.」

という状況に対応します. ...-A
ただ,　こうすると X=Y=Zが成り立たなくなりますね. (X < Y = Z).  

したがって, 『今回の議論が実際に考えられる自然な状況と,離れた状況での議論をしているでしょう. 』というご意見は全く持っておっしゃるとおりなのです.  厳密な議論は, a, b, c, d, e, X, Y, Zを算出できる状況を仮定してからになります.

ちょっと, やってみましょうか. -Aの状況においては, 

a = b = c = d = e = 1/10という仮定は満たされます. 
そして, X =6/10, Y=8/10, Z=8/10ですね. 

Case1: 1/60 * YZ (A:真, B:狂, C:狼)
Case3: 1/60 * XZ (A:狂, B:真, C:狼)
Case4: 1/60 * XZ (A:狂, B:狼, C:真)
Case5: 1/60 * XY (A:狼, B:真, C:狂)
Case6: 1/60 * XY (A:狼, B:狂, C:真)

となるのでこの仮定の下では, 若干 AよりもCの方が狼目が強いということになりますね. (情報吊りで狼目占いが吊りやすいケース)

一方, CよりもA吊りの方が良くなるケースも一例, 見ましょう. 

「狂人はランダムに１人を選び○出しをする.」

「狼占い騙りは「仲間の狼以外に」ランダムに○打ちを行う.」

が狼や狂人の戦略としましょう. 

a = b = c = 1/10, d = e = 1/8
X = 6/10, Y=8/10, Z= 6/8

この時, 

Case1: 1/60 * YZ = 1/60 * 0.6(A:真, B:狂, C:狼)
Case3: 1/60 * XZ  = 1/ 60 *0.45 (A:狂, B:真, C:狼)
Case4: 1/60 * XZ  = 1/60 *0.45 (A:狂, B:狼, C:真)
Case5: 1/60 * 10/8 * XY  = 1/60 * 0.6 (A:狼, B:真, C:狂)
Case6: 1/60 * 10/8 *  XY = 1/60 * 0.6 (A:狼, B:狂, C:真) 

この場合に, AよりもCの方が狼目が強いことは分かっていただけると思います. 

このように, 狼や狂人のとりうる戦略によって, 村視点の良い吊り先が変わるというのが, この状況での難しい所なのです. 最初に自分が行った仮定は, 本当にかなり恣意的」...実際の状況とは離れたものでしたが, 真面目に考えると, 考えなければならないケースが多すぎて....きついのです...